Matematikte Çözülmemiş Goldbach Hipotezi

Goldbach varsayımı , sayı teorisinde , 2’den büyük her çift sayma sayısının iki asal sayının toplamına eşit olduğu iddiası (burada modern terimlerle ifade edilmiştir) . Rus matematikçiChristian Goldbach bu varsayımı ilk olarak 1742’de İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’e yazdığı bir mektupta önerdi. Daha doğrusu Goldbach, “2’den büyük her sayının üç asal sayının toplamı olduğunu” iddia etti . (Goldbach’ın zamanında, kongre 1’i asal sayı olarak kabul etmekteydi, bu nedenle onun ifadesi, konvansiyonun asal sayılar arasına 1’i dahil etmemesi şeklindeki modern versiyona eşdeğerdir.)Sayılar teorisindeki en eski Matematik’te çözümsüz problemlerden biridir.
Sanı: Goldbach’ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler’e 7 Haziran 1742’de yazdığı mektupta şöyle ifade ediliyor:
…En azından 2’den büyük her sayı iki asal sayının toplamıdır…
Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terkedilmiştir.)
(1 sayısı niçin asal değildir?: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez. Oysa 1 sayısı diğer asalları da tam böler.)
Kuvvetli ikil varsayım, 3’ten büyük her çift doğal sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öne sürer. Faber and Faber adlı yayın şirketi bu sanının doğru olduğunu 20 Mart 2000 ve 20 Mart 2002 arasındaki 2 yıllık sürede kanıtlayabilecek ilk kişiye 1.000.000 Amerıkan doları ödül vaadetmiştir, fakat sanı halen ispatsız olduğu üzere bu ödülü de kazanan olmamıştır.
Christian Goldbach, 1742’de Euler’e gönderdiği mektupta sayılarla ilgili çalışmaları sonucu şu sonuca ulaştığını söyler; “6’dan büyük her tamsayı, 3 asal sayının toplamı olarak yazılabiliyor.” Goldbach, ulaştığı sonucu ispatlayamadığını da söyler ve Euler’den yardım ister. Euler, Goldbach’a yazdığı cevapta kendisinin de bu varsayımı ispatlayamadığını ama eğer bu varsayım doğruysa 2’den büyük çift sayıların da 2 asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceği sonucuna vardığını söyler. Böylece ünlü Goldbach sanısı ortaya çıkmış olur.

“2’den büyük her çift sayı en az 2 asal sayının toplamı olarak yazılabilir.”

Bu sonuca, Goldbach’ın yazdığı mektuptan yola çıkarak Euler ulaşmıştır ama konunun çıkış noktası dikkate alınarak matematiğe, Goldbach sanısı olarak geçmiştir. Goldbach’ın mektubunda sözünü ettiği ilk varsayımı ise 3 asal problemi ya da ikinci Goldbach sanısı olarak bilinir. 3 asal problemi, bir sonraki bölümde ele alınmıştır.

Goldbach sanısı, 350 yılı aşkın süredir ispatlanmayı bekleyen bir matematik problemi olarak gözükmektedir. Matematikte, çözüm bekleyen üç büyük problemden birisidir. Diğer ikisi, Fermat’ın Son Teoremi ve Riemann Hipotezi’dir. Halen, bu üç problem ispatlarına kavuşmuş değillerdir.

Goldbach sanısını ispatşamaya yönelik çok öenmli çalışmalar yapılmıştır. 20. yüzyıla kadar olan çalışmalar, özellikle asal sayılar teorisinin geliştirilmesinde çok önemli rol oynamıştır ve asal sayılara olan ilginin artmasına sebep olmuştur. Goldbach sanısı, birçok önemli matematikçinin neredeyse ömürlerini harcadıkları bir çalışma haline gelmiştir. Birçoğu, tarihe geçebilmek için Goldbach sanısını ispatlamaya çalışmışlardır. Şüphesiz, yukarıda sözü edildiği gibi, bu çalışmaların çok önemli yararlar sağladığı açıktır.

Goldbach sanısı tam olarak ne demek istiyor? Biraz bu konudan bahsedelim.Goldbach sanısına göre, 2’den büyük her çift sayı en az 2 asal sayının toplamı olarak yazılabilir. Bilindiği gibi asal sayılar, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardır ve en küçük asal sayı 2 olarak kabul edilmiştir. Bir sayının asal olup olmadığı, kendisinden küçük asal sayılara bölünerek bulunabilir. Eğer hiç asal çarpanı yoksa, sayı asaldır.
Matematikteki en eski çözülmemiş problemlerden biri de anlaşılması en kolay olanlardan biridir. Zayıf Goldbach varsayımı, herhangi bir tek sayıyı en fazla üç asal sayının (kendileri veya 1 dışında başka bir sayıya eşit olarak bölünemeyen sayılar) toplamına bölebileceğinizi söyler. Örneğin:

35 = 19 + 13 + 3
veya
77 = 53 + 13 + 11

Los Angeles, California Üniversitesi’nden matematikçi Terence Tao, şimdi bir kanıta doğru adım adım ilerledi. Tek sayıların en fazla beş asalın toplamı olarak yazılabileceğini gösterdi – ve bunu üçe indirmekten umutlu. Tao, yaklaşık üç yüzyıldır matematikteki en iyi beyinlerden bazılarını atlatan bir cevabı kırmanın katıksız heyecanının yanı sıra, bu gıpta edilen hedefe ulaşmanın matematikçileri gerçek hayatta yararlı fikirlere yönlendirebileceğini söylüyor – örneğin, hassas verileri şifrelemek için.
Zayıf Goldbach varsayımı, 18. yüzyıl matematikçisi Christian Goldbach tarafından önerildi. Güçlü Goldbach varsayımı olarak adlandırılan, ancak aslında meslektaşı matematikçi Leonhard Euler tarafından yapılan çift sayılarla ilgili bir ifadenin kardeşidir. Güçlü versiyon, 2’den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olduğunu söyler. İsminden de anlaşılacağı gibi, güçlü olan doğru olsaydı, zayıf versiyonu takip ederdi: üç asalın toplamı olarak tek bir sayı yazmak, ondan 3 çıkarmak ve güçlü versiyonu ortaya çıkan çift sayıya uygulamak yeterli olacaktır.

Matematikçiler her iki ifadenin de 19 haneye kadar olan tüm sayılar için geçerliliğini bilgisayarla kontrol ettiler ve hiçbir zaman bir istisna bulamadılar. Dahası, sayı ne kadar büyükse, onu diğer iki sayının toplamına bölmenin daha fazla yolu vardır – üçü bırakın. Dolayısıyla, ifadelerin doğru olma ihtimali, daha büyük sayılar için daha iyi hale gelir. Aslında matematikçiler, güçlü varsayımın herhangi bir istisnası varsa, sayı sonsuza yaklaştıkça giderek daha seyrek hale gelmesi gerektiğini kanıtladılar. Zayıf durumda, 1930’lardan kalma klasik bir teorem, varsayıma en fazla sınırlı sayıda istisna olduğunu söyler. Başka bir deyişle, zayıf Goldbach varsayımı “yeterince büyük” sayılar için doğrudur. Tao, yeterince küçük sayılar için geçerli olan bilgisayar tabanlı sonuçları, yeterince büyük sayılar için geçerli olan sonuçla birleştirdi.

Daha sonra Tao, yaklaşımını genişletmeyi ve her durumda üç asalın yeterli olduğunu göstermeyi umuyor. Ancak bu, güçlü varsayıma yardımcı olmayacak. Tao, zayıf varsayımın kıyaslanamayacak kadar daha kolay olduğunu söylüyor, çünkü bir sayıyı üçe bölerek, “şanslı olmanız ve tüm sayıların asal olması için çok, çok daha fazla şansınız var.” Bu nedenle, Goldbach’ın ölümünden çeyrek bin yıl sonra, hiç kimsenin büyük meydan okumasını nasıl çözeceğine dair bir stratejisi bile yok.